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Inicio Ingeniería y matemáticas Curvas de potencia en ensayos de aceptación o rechazo de productos

Curvas de potencia en ensayos de aceptación o rechazo de productos

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Introducción

Supongamos que una empresa fabrica un determinado bien de consumo que sabe que, para una determinada prueba de calidad, tiene una fiabilidad del 99%, esto es: el 99% de los artículos fabricados supera esa prueba y el 1% restante no. Por otra parte un cliente quiere hacerse con una partida de tales artículos, siempre que el nivel de fiabilidad declarado por el fabricante sea cierto. Para comprobarlo acuerdan un ensayo de aceptación o rechazo. De la producción se toma al azar una muestra de 50 artículos para someterlos a la referida prueba de calidad y convienen en que si tres o más de dichos artículos no superan el test el cliente no efectuará ninguna compra.

Dada la situación anterior, es interesante preguntarse sobre las implicaciones que para fabricante y cliente tiene el ensayo acordado. Así por ejemplo:

  • El fabricante puede preguntarse qué riesgo tiene de fracasar en su venta aún cuando su producto cumpla con el nivel de fiabilidad declarado.
  • El cliente puede preguntarse qué riesgo está asumiendo de acabar comprando un producto que no tiene la fiabilidad que asegura el fabricante.

 El objeto de este monográfico es el de presentar una metodología más una herramienta que permita contestar a las preguntas anteriores para cualesquiera valores introducidos como parámetros en el ensayo de aceptación o rechazo anterior.

Formulación matemática del problema

Una vez presentado el problema anterior es conveniente parametrizarlo para su posterior abordaje matemático. Definamos así:

  • Fiabilidad declarada por el fabricante :  fiabilidad declarada por el fabricante. Ésta puede ser o no la fiabilidad real del producto. En nuestro ejemplo vale 0,99 (99%).
  • Fiabilidad del producto : fiabilidad real del producto. No sabemos cuál es su valor.
  • Tamaño de la muestra ensayada : tamaño de la muestra ensayada. En nuestro ejemplo vale 50.
  • Número de fracasos en el ensayo a partir del cual se desestima la venta : número de fracasos en el ensayo a partir del cual se desestima la venta. En nuestro ejemplo vale 3.

Desde un punto de vista matemático el ensayo de aceptación o rechazo consiste en Tamaño de la muestra ensayada pruebas de Bernoulli totalmente independientes entre sí, por lo que las probabilidades implicadas se rigen por la ley binomial siguiente:

Probabilidad del rechazar el ensayo   [1]

Considerando la fiabilidad real del producto Fiabilidad del producto como único parámetro variable, la expresión anterior se denominará curva de potencia del ensayo de aceptación o rechazo. La notaremos como Curva de potencia del ensayo de aceptación o rechazo. La curva de potencia informa sobre la probabilidad de que se acabe desestimando la venta para cada valor Fiabilidad del producto de fiabilidad.

Análisis de una curva de potencia

Toda curva de potencia presenta las siguientes características:

  • Beta de cero igual a uno
  • Beta de uno igual a cero
  • Beta de la fiabilidad declarada por el fabricante igual al nivel de significación , siendo Nivel de significación el llamado nivel de significación del ensayo. Se corresponde con la probabilidad de rechazar el ensayo (y por tanto la venta) para una fiabilidad del producto igual a la declarada por el fabricante.
  • Es monótona decreciente con Fiabilidad del producto.

Las curvas de potencia tienen forma de ese invertida. Mostramos a continuación la curva de potencia del ejemplo que ha servido de introducción a este artículo:

curva_de_potencia_del_ejemplo

La gráfica anterior es una fuente de información suficiente para mitigar las inquietudes que tanto fabricante como cliente planteaban en la introducción de este artículo. En ella se han trazado dos líneas rectas verdes: una horizontal y otra vertical. Ambas se intersecan en el punto de la curva de potencia para el que la fiabilidad es del 99% (fiabilidad declarada por el fabricante). La probabilidad de rechazo del producto para dicho valor de fiabilidad es lo que hemos venido llamando nivel de significación, que resulta ser de un 1,4%. Podemos decir entonces:

  • Desde el punto de vista del fabricante la curva tiene interés desde la recta verde vertical (Fiabilidad declarada por el fabricante) hacia la derecha. Sabe que, aunque su producto cumpla con las especificaciones de fiabilidad que él mismo ha declarado, tiene al menos una probabilidad del 1,4% de no llevar a cabo la venta.
  • Desde el punto de vista del cliente la curva tiene interés desde la recta verde vertical (Fiabilidad declarada por el fabricante) hacia la izquierda. Sabe que es casi imposible que acepte un producto de fiabilidad inferior al 80%, pero por otra parte si la fiabilidad real del producto es (por ejemplo) del 95%, podría llegar a comprar una partida con una probabilidad del 50%.

Curva de potencia ideal

Vemos por tanto que fabricante y cliente tienen intereses contrapuestos. Para el fabricante la curva de potencia ideal es aquélla que presenta los valores más próximos a cero desde Fiabilidad declarada por el fabricante hacia la derecha; para el cliente, sin embargo, es aquélla que presenta los valores más próximos a 1 (100%) desde Fiabilidad declarada por el fabricante hacia la izquierda. Para ambos, la curva de potencia ideal es:

Curva de potencia ideal   [2]

No existe ningún ensayo de aceptación o rechazo que presente la curva de potencia anterior. Vamos a mostrar sin embargo que si el valor de Tamaño de la muestra ensayada tiende a infinito y el valor de Número de fracasos en el ensayo a partir del cual se desestima la venta guarda cierta relación con el primero, la derivada de Curva de potencia del ensayo de aceptación o rechazo  en el punto Fiabilidad declarada por el fabricante tiende a menos infinito, y por tanto la curva de potencia real presenta un salto drástico de pendiente para el valor de fiabilidad declarado por el fabricante. Fijémonos en que la derivada de la expresión [1] respecto de Fiabilidad del producto es:

Derivada de la curva de potencia respecto de theta   [3]

No es difícill ver que el término entre corchetes es siempre negativo si para cada Tamaño de la muestra ensayada elegimos Número de fracasos en el ensayo a partir del cual se desestima la venta de la manera siguiente:

Condición de acotación de la derivada de la curva de potencia respecto de theta, con K mayor que 1  una constante arbitraria. [4]

La condición anterior significa que rechazaremos el ensayo si obtenemos un porcentaje de fracasos ligeramente superior a la infiabilidad declarada por el fabricante, lo cual es razonable. En ese caso se cumple además que:

Acotación superior del término entre corchetes  [5]

La expresión [5] nos dice que el término entre corchetes de la expresión [3] está acotado superiormente por un valor negativo y proporcional a Tamaño de la muestra ensayada. Por otro lado, la parte fuera de los corchetes de la expresión [3] coincide con el interior del sumatorio de la expresión [1] y por tanto su valor está acotado entre 0 y 1. Es claro entonces que la derivada es negativa y no está acotada, como queríamos probar.

Dado un valor de Número de fracasos en el ensayo a partir del cual se desestima la venta, para fijar entre fabricante y cliente una cota inferior Cota inferior del nivel de significación del nivel de significación, buscaremos el valor más pequeño n>r que haga que Nivel de significación mayor que una cota inferior suya en la expresión [1]. Esto siempre es posible pues para Fiabilidad del producto y Número de fracasos en el ensayo a partir del cual se desestima la venta fijos la expresión [1] es estrictamente creciente con Tamaño de la muestra ensayada.

Parece claro entonces que elevar el tamaño de la muestra a ensayar minimiza el riesgo tanto del fabricante como del cliente. Sin embargo en este caso el coste de los ensayos puede aumentar drásticamente. Además, si los ensayos son destructivos, la medida puede llegar a ser una necedad. Hay veces entonces donde tanto fabricante como cliente tienen que conformarse con los resultados arrojados por un ensayo de tamaño muestral pequeño, asumiendo cada uno sus respectivos riesgos. Así, el fabricante deberá conformarse con un nivel de significación mayor que el deseado, mientra que el cliente se conformará con un test de potencia (pendiente) inferior a la deseada.

Curvas de potencia en el caso de fabricación de lotes

Hasta ahora hemos supuesto que el cliente compra una partida de productos resultantes de un proceso continuo de fabricación, donde la fiabilidad del producto frente a una determinada prueba de calidad no era sino un examen de la calidad del proceso productivo. Supongamos ahora que la empresa fabrica un sólo lote de mil artículos, destinado exclusivamente a nuestro cliente. En este caso supondremos que la fiabilidad con relación a la prueba de calidad está referida exclusivamente a dicho lote, esto es, el fabricante declara que el 99% de los productos de dicho lote pasarán la prueba de calidad.

Una manera exhaustiva que tendría el cliente de valorar la calidad del lote es someter al ensayo de calidad a todos los artículos del mismo. Las más de las veces esto tendrá un coste inasumible, por lo que se preferirá tomar una muestra del lote y analizar sus elementos. Estamos entonces en un caso análogo al presentado en la introducción. Sin embargo la curva de potencia que regirá las probabilidades implicadas estará basada en una distribución hipergeométrica. Así:

Curva de potencia para un proceso de fabricación por lotes   [6]

En la expresión anterior:

  • Tamaño del lote : tamaño del lote.
  • Tamaño de la muestra ensayada : tamaño de la muestra ensayada.
  • Número de elementos defectuosos en el lote : número de elementos defectuosos en el lote. No sabemos cuál es su valor.
  • Número de fracasos en el ensayo a partir del cual se desestima la venta : número de fracasos en el ensayo a partir del cual se desestima la venta.

En este caso la expresión [6] no es continua, ya que sólo tiene sentido para valores de Fiabilidad del producto tales que Número de elementos defectuosos en el lote sea un número natural.

Salta a la vista que la expresión [6] es más complicada que la expresión [1]. Se puede demostrar no obstante que para un valor Tamaño del lote suficientemente grande ambas expresiones arrojan resultados muy similares para todo valor de Fiabilidad del producto. Es común por tanto usar directamente la curva de potencia [1] cuando el tamaño del lote es grande. Por otra parte, al graficar la expresión [6] obtenemos las mismas características que obtuvimos para la expresión [1] y por ende se puede llevar a cabo un análisis idéntico.

Construcción de curvas de potencia

En la página de descargas, el lector interesado encontrará una aplicación Excel que le permitirá graficar de forma rápida y sencilla la curva de potencia de cualquier ensayo de aceptación o rechazo. Dicha aplicación permite calcular curvas de potencia hipergeométricas hasta un tamaño de lote igual a 5000. Tanto para tamaños mayores como para procesos productivos continuos deberá usarse la curva de potencia binomial, también incluida.

Esta sencilla aplicación puede resultar de notable ayuda, tanto para el fabricante como para el cliente, a la hora de diseñar y convenir el ensayo de aceptación o rechazo de un producto o de un lote de productos.

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