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Inicio Computación y cálculo numérico Círculo de Error Probable

Círculo de Error Probable

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Introducción

Cuando trabajamos con variables aleatorias que representan un error cometido (por ejemplo en un proceso de medición), solemos caracterizar la dispersión de dicho error mediante una estimación de la varianza o, más comúnmente, de la desviación típica.
Cuando la variable aleatoria es bidimensional, una imagen más intuitiva de su dispersión la podemos obtener calculando el círculo que, centrado en el punto de error cero, encierra el 50% de nuestras mediciones.
Un ejemplo típico es el de un arquero disparando sus flechas contra una diana. Aunque éste siempre apunta al centro de la diana, la falta de pericia, el cansancio o las condiciones atmosféricas hacen que la flechas se distribuyan por toda la diana, no sólo en el centro. Podemos dar una medida de cuán bueno es el arquero si damos la desviación típica de los puntos de impacto en dos ejes perpendiculares (el horizontal y el vertical, por ejemplo). No obstante nos resultaría más gráfico si se nos informara del radio del círculo que, con centro en el centro de la diana, contiene el 50% de los impactos. Si este círculo es pequeño es porque las flechas están muy agrupadas en torno al oro de la diana y podemos afirmar por ende que el arquero es bueno.

Definiciones

Vamos a tratar el problema desde un punto de vista un poco más formal. Sea (X,Y) una variable aleatoria que representa un error bidimensional (por ejemplo, las coordenadas de impacto de las flechas, en ejes perpendiculares, respecto del centro de la diana). Puesto que (X,Y) representa un error, asumimos que las esperanzas de sus componentes son nulas, esto es: E[X]=0 y E[Y]=0. Vamos a suponer además que las componentes X e Y son independientes entre sí y sus respectivas desviaciones típicas (ambas conocidas) son: sigma_X  y  sigma_X.

Denominamos Círculo de Error Probable (CEP) al círculo que, con centro en (X=0, Y=0) encierra dentro de sí una probabilidad de 0,5 (50%). Al radio del CEP lo llamaremos Error Probable Circular (EPC).

Cálculo de probabilidades

Dada la variable aleatoria (X,Y) anterior, la probabilidad P encerrada en un círculo con centro en (X=0, Y=0) y radio R vendrá dada por la expresión integral:

 

P[K,c]   [1],  siendo  R/sigma_X   [2]   y   sigma_Y/sigma_X  [3].

 

El lector interesado encontrará, en la página de descargas, el desarrollo matemático completo de la expresión anterior.

El cálculo del EPC se lleva a cabo igualando la expresión integral anterior a 0,5. Tras aislar K, calcularemos R mediante la expresión [2].

Proyecto CirErrProb (Circular Error Probabilities)

La integral [1] no tiene una solución cerrada, por lo que es necesario evaluarla por métodos numéricos para cada valor de K y cada valor de c. Además el cálculo del EPC añade una complicación mayor, puesto que obliga a resolver, también por métodos numéricos, una ecuación integral en K. El proyecto CirErrProb se ha creado con el objeto de solucionar fácilmente los dos problemas anteriores. Está escrito enteramente en C++ y puede servir además para satisfacer otras necesidades ajenas al problema expuesto, ya que:

  1. Implementa el método de cuadratura (integración) de Simpson.
  2. Implementa el método de la secante para el cálculo de raíces (resolución de ecuaciones no lineales).
  3. Incorpora el cálculo de las funciones de densidad y distribución de una ley gaussiana estándar.
  4. Incorpora el cálculo de las funciones de densidad y distribución de una ley de Rayleigh.

Las implementaciones de los métodos de Simpson y de la secante pueden ser reutilizadas en otros proyectos, pues la función sobre la que actúan ambos algoritmos es un parámetro de los mismos (gracias a la introducción de punteros a funciones).

El proyecto CirErrProb se encuentra a disposición del lector en la página de descargas.

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